Números perfectos (II)
Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / QUADRIVIUM
Seis es un número perfecto, y no porque Dios haya creado todas las cosas en seis días;
todo lo contrario, Dios hizo su obra en seis días, porque el seis es un número perfecto.
Agustín de Hipona
Cuando nuestras publicaciones requieren extenderse a más de un artículo, siempre hacemos un breve repaso de lo tratado en las partes precedentes para facilitar el seguimiento. También es cierto que únicamente nos alcanza el espacio para esbozar los trazos principales del paisaje, los más burdos, así que pido disculpas por aquellos ávidos lectores que posiblemente se quedan con la inquietud de más material. Siempre podríamos extendernos mucho más, pero en función de abarcar mayores diversidades y divertimentos, dejamos que el inquieto lector pueda profundizar sobre los particulares intereses provocados por la lectura, a pesar de lo breve de las mismas. Con esta acotación que venía arrastrando de hace muchos artículos, en esta y otras columnas, podemos resumir el anterior artículo.
Primeramente, enfatizar la distinción entre número y numeral. Así, 10 representa el número diez en el sistema decimal, pero es dos en el sistema binario. Cuando hablamos de las propiedades de un número, no hacemos para nada referencia a la forma de escribirlo, al igual que los conceptos no dependen del idioma en que los representemos. Mencionamos que una relación fundamental entre los números es la divisibilidad. Como un ejemplo, en la imagen siguiente se observa que el número 12 es divisible por seis números. De hecho, cualquier número es divisible por sí mismo y por la unidad, y hemos recordado que los números que no tienen más divisores aparte de estos dos se denominan primos, o primales, como es el caso del número trece y el número siete. A los divisores también se les llama factores o submúltiplos del número que dividen. En nuestro ejemplo, 3 es divisor, factor o submúltiplo de 12, así como 6 también lo es. En sentido converso, decimos que 12 es múltiplo de 6 y de 3, o que los contiene como factores.
Ya aclarado el tema de la divisibilidad, y la relación «múltiplo de», base para su relación inversa «ser divisor de», es posible pasar a la clasificación que presentamos de los números, según sea la suma de sus divisores. Al sumar los divisores propios de un número, podremos tener que tal suma es inferior o superior al número dado, en cuyo caso hablamos de números defectivos o defectuosos, o números excesivos o abundantes, respectivamente. La mayoría de los números caen en estos dos casos, teniendo un determinado defecto, que es lo que falta a la suma de los divisores para igualar al número dado, o teniendo un exceso, que es lo que sobra en la suma de los divisores, sobrepasando el número en cuestión. Sin embargo, hay un tercer caso, muy escaso, que se da cuando la suma de los divisores de un número dado es exactamente igual al número que estamos clasificando. Este caso tan singular es el de los llamados números perfectos, como el caso del número 28 en la imagen que sigue, y el número 6 citado en nuestro epígrafe, atribuido al santo de Hipona.
A decir verdad, en la antigüedad se conocían únicamente cuatro números perfectos: 6, 28, 496 y 8128. Al factorizarlos, se observa una peculiaridad bastante notoria: 6 = 2 x 3 = 21 x ( 22 – 1); 28 = 4 x 7 = 22 x ( 23 – 1); 496 = 16 x 31 = 24 x ( 25 – 1); 8128 = 64 x 127 = 26 x ( 27 – 1). El patrón no es tan difícil, pues es una potencia de dos multiplicada por la suma de los divisores de esa potencia de dos. Así, en el 28, tenemos el cuatro, que es 22, y la suma de los divisores de cuatro: 1 + 2 + 4 = 7 = 22 – 1. Sin embargo, hay un salto, pues 28 = 4 x 7 debería haber sido seguido por 120, dado que 120 = 8 x 15, que resulta que no es perfecto. Euclides observó este hecho, pero también observó que los divisores de ocho no tienen una suma que sea un número primo, esto es: 1 + 2 + 4 + 8 = 15, que tiene una factorización no elemental (15 no es número primo, pues 15 = 3 x 5).
De hecho, respecto a esta observación, Euclides presentó una demostración, que no es muy complicada, que establece como teorema el hecho de que si N = 2p-1 x ( 2p – 1), entonces N será un número perfecto si el factor 2p – 1 es un número primo, para lo cual se puede probar que p debe ser a su vez un número primo, como lo es en los cuatro casos citados (2, 3, 5 y 7 respectivamente). Obviamente, este número N será un número par, por la presencia de muchos factores 2 en su cálculo, como en efecto lo son los 51 números perfectos conocidos hasta el día de hoy, los cuales corresponden a esta forma. El factor 2p – 1 se denomina un número de Mersenne. Si un número de Mersenne es primo, se le llama un número primo de Mersenne, los cuales tienen especial relevancia pues son los que automáticamente generan un número perfecto.
En la imagen siguiente aparecen los primeros trece números de Mersenne, que generan los primeros trece números perfectos, que son pares. Notable es el octavo de los enlistados, pues se debe al prolífico y genial matemático y físico suizo Leonhard P. Euler, quien demostró la parte conversa del teorema citado de Euclides, es decir, no solo que la fórmula N = 2p-1 x ( 2p – 1) genera un número perfecto cuando el factor de Mersenne asociado 2p – 1 es primo, sino que esta es la única forma de obtener un número perfecto que sea par. Como en muchas de las demostraciones de la forma «si y solo si», un sentido de la prueba es fácil (en este caso el sentido «si»), mientras la conversa («solo si») representa un grado mucho mayor de dificultad. Así es que debido a Euler sabemos que los únicos números perfectos pares que existen o pueden existir deben corresponderse de manera biunívoca con los números de Mersenne que sean primos.
Desde entonces se han abierto, en esta era digital, diversas carreras algorítmicas en la búsqueda de nuevos primos de Mersenne, siendo GIMPS una de las más fructíferas. En las últimas tres décadas se han encontrado más de 20 nuevos primos de Mersenne, lo cual es más del 40 % del total conocido. Así, a diciembre de 2018, el mayor número primo de Mersenne conocido es el M(82 589 933) = 282 589 933−1, un número con más de 24 millones de cifras (decimales), pues el número de cifras en binario son cabalmente 82 589 933 de bits 1, uno tras otro. Obsérvese que cualquier secuencia de p bits 1 equivale a un número de Mersenne, justamente a 2p – 1. La pregunta es cuándo esta secuencia es un número primo, sabiendo que cuando esto suceda, un número perfecto podrá ser obtenido mediante la fórmula: N = 2p-1 x ( 2p – 1) = N = 2p-1 x M(p). Con los números perfectos se desconoce si existen en cantidad finita, o si existe alguno que sea impar, no habiéndose podido demostrar que esto sea matemáticamente imposible.
Imagen principal tomada de Wikipedia, editada por Vinicio Barrientos Carles.
Vinicio Barrientos Carles
Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.
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