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Topos, logos y el problema de la continuidad (I)

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Topos, logos y el problema de la continuidad (I)

Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / QUADRIVIUM

… parecía realmente pertenecer a la geometría,
pero estaba dispuesto de tal manera que ni precisaba la determinación de cantidades
ni admitía solución mediante el cálculo de ellas,
no dudé en referirlo a la geometría de la posición.
Leonhard P. Euler


La idea de que la Matemática es un asunto de números es una idea errónea y ciertamente nociva para una pertinente y fructífera integración social de los profesionales de esta ciencia formal, y más aún en una sociedad fuertemente necesitada de los servicios y aportes que estos científicos pueden realizar. En esta visión, un tanto deformada del quehacer matemático, mucho tiene que ver, sin lugar a dudas, el fallido sistema educativo, que ha terminado operacionalizando las actividades de aprendizaje, a tal punto que se ha perdido de una manera paulatina el meollo formativo del porqué las distintas disciplinas que integran el currículo escolar son importantes en los procesos de construcción mental, tanto cognitivos como emocionales y de otra índole. Es así como, a lo largo de los años, me he topado con una gran cantidad de funcionarios en las distintas universidades de nuestro país que no tienen la más mínima idea sobre para qué puede ser útil un matemático, es decir, en qué podría trabajar. Usualmente se piensa que son personas que únicamente pueden enseñar lo que saben, es decir, «dar clases de Matemática», cayendo en un círculo vicioso sin fin. Pero quizá sea otro día cuando nos entretengamos con esta problemática, y por ahora que nos baste recalcar que no es como se piensa: la Matemática no es solo cuestión de números.

Por otro lado, en estos días de crisis, la pandemia trajo a colación cómo en varios países del primer mundo, los institutos y las universidades más prestigiosos colocaron en la voz de sus departamentos de Matemática las recomendaciones respecto a lo que los modelos prospectivos decían al respecto de la evolución del brote. De repente, el mundo sentía curiosidad al respecto del aparecimiento de estos profesionales, que en el imaginario deberían estar frente a un pizarrón dando clases, atormentando a sus estudiantes, como es usual, y que ahora parecían como que tuvieran algo relevante que decir sobre el mundo, algo asombrosamente útil. La frase «modelos matemáticos» se volvió coloquial. Sin embargo, nuevamente se trataba de modelación cuantitativa, lo que implicaba variables, cálculos… y números. A pesar de esta insistente (y reducida) noción, es importante rescatar que también existe, en el mismo imaginario, la idea de que los matemáticos son gente un tanto diferente a la que le gusta pensar, y podemos fácilmente asociarlos con ciertos entretenimientos o pasatiempos en los que, justamente, hay que pensar, unos en los que «se usa la lógica». Esta es una noción que resulta mucho más acertada y próxima de lo que la Matemática viene siendo, la cual deberíamos concebirla como una disciplina relacionada con actividades como los juegos, en la reflexión de las reglas de estos juegos más que con la operatoria característica de los cálculos. Después de todo, hoy por hoy, para eso están las computadoras y las distintas herramientas y paqueterías algorítmicas.

Imágenes tomadas de Wikipedia y Huellas de matemática, editadas por Vinicio Barrientos Carles.

Por otro lado, cabe hacer mención que fue hasta hace poco menos de dos siglos que se inició un profundo cambio en la visión que los constructores líderes del edificio matemático tuvieron de este. Este cambio dio inicio con el denominado problema de las geometrías no euclidianas, estudiado de forma simultánea e independiente por varios matemáticos, entre los que destacan el alemán Carl Friedrich Gauss, el ruso Nikolái Lovachevski y el húngaro János Bolyai, y posteriormente el alemán Bernhard Riemann. En forma muy resumida, tras la búsqueda de una posible redundancia del quinto postulado de la geometría planteada en los «Elementos» de Euclides, se encontró que, al negar este postulado, no solo ninguna contradicción aparecía, sino que era posible considerar otros tipos de sistemas geométricos igualmente consistentes que el original, de forma que era factible considerar, lógicamente, la existencia de distintos «mundos» sometidos a conjuntos diferentes de axiomas. Fue aquí donde despegó la característica abstracta de la Matemática, inclusive de la misma Lógica, de manera que la relación ontológica entre los objetos formales y los seres factuales (cosas de la realidad física sensible) cambió, básicamente porque los primeros son libres respecto de los segundos y pueden ser diseñados arbitrariamente una vez se apeguen a determinada consistencia lógica relativa a las reglas de construcción.

En suma, con este despegue hacia la abstracción, los sistemas formales se independizaron y la Matemática en la actualidad es visualizada como una colección de disciplinas, o áreas, dedicadas al estudio de cierto tipo de sistemas o estructuras formales, las cuales pueden ser aplicadas en distintos contextos y que responden a determinados tipos de problemas «matemáticos». El hecho es que el crecimiento de la Matemática en el último siglo no tiene parangón con ninguna otra ciencia, habiendo crecido, según lo estiman los especialistas, en un factor mayor a veinte. Esto significa que si el saber matemático acumulado hasta antes de los inicios del siglo XX ocupaba, por decirlo así, un anaquel de resultados y teoremas, este cúmulo es al día de hoy de más de veinte anaqueles. Para completar este asombro, anótese que los estudios universitarios, con la excepción de los especializados en Matemática, abarcan menos de los conocimientos previos a los de mediados del siglo XIX.

Toda esta ciudadela de producción matemática se encuentra interconectada y ciertamente puede ser organizada en edificios (áreas o subdisciplinas). En este sentido, es interesante consultar la clasificación de la Matemática que la Unesco llevó a cabo hace ya cuarenta años. En esta, las ciencias formales aparecen primero, siendo la Lógica correspondiente al código 11 y la Matemática al código 12. Adentro del código 12, pueden verse las ciencias de la Computación con el código 1203, siendo plausible plantear actualmente una independencia de este campo de estudio, por lo que pasaría a constituirse en la tercera ciencia formal, pudiendo ser recatalogada con el código 13. En esta clasificación se pueden apreciar diez edificios, dentro de los cuales hay en total más de setenta habitaciones, siendo cada habitación una disciplina matemática. El título del artículo responde a uno de estos edificios, cabalmente el que codificado como 1210: Topología (del griego τόπος-lugar; λόγος-estudio).

Imágenes tomadas de Topología y I-Ciencias, editadas por Vinicio Barrientos Carles.

Para iniciar nuestra panorámica sobre la Topología, posiblemente nunca antes escuchada, quizá convenga citar al suizo Leonhard Euler, sin duda el matemático más brillante y prolífico del siglo XVIII, cuando hace referencia al tema en su solución del «problema de los siete puentes de Königsberg»:

además de aquella parte de la geometría que trata sobre cantidades y que se ha estudiado en todo tiempo con gran dedicación, el primero que mencionó la otra parte, hasta entonces desconocida, fue G. Leibniz, el cual la llamó geometría de la posición. Leibniz determinó que esta parte se tenía que ocupar de la sola posición y de las propiedades provenientes de la posición en todo lo cual no se ha de tener en cuenta las cantidades, ni su cálculo (…). Por ello, cuando recientemente se mencionó cierto problema que parecía realmente pertenecer a la geometría, pero estaba dispuesto de tal manera que ni precisaba la determinación de cantidades ni admitía solución mediante el cálculo de ellas, no dudé en referirlo a la geometría de la posición.

Imagen tomada de Wikipedia, editada por Vinicio Barrientos Carles.


Imágenes tomadas de diversos medios, editadas por Vinicio Barrientos Carles.

Vinicio Barrientos Carles

Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.

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