Modelos matemáticos y simulación computacional
Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / AUTÓMATOS
El ordenador nació para resolver problemas que antes no existían.
Bill Gates
Sobre la importancia de los modelos matemáticos hemos redactado varios artículos en la columna Quadrivium, los cuales han mostrado los elementos básicos de la teoría para el control de cualquier brote epidemiológico, insistiendo en dos dimensiones fundamentales:
a) la complejidad del fenómeno, por un lado, tanto en el aspecto del contagio y los mecanismos de difusión, como en la naturaleza social de la propagación, y
b) la importancia crucial que reviste la disponibilidad de los datos que sobre el fenómeno se pueda tener, con miras a la evaluación crítica de cualquier modelo propuesto.
Al respecto del uso y calibración de los modelos matemáticos, Katsuhiko Ogata, un experto en los nuevos paradigmas de la ingeniería de control, especialista en la rama de la cibernética de los sistemas dinámicos por medio de herramientas computacionales, dice lo siguiente:
Cuando se intenta construir un modelo, debe establecerse un equilibrio entre la simplicidad del modelo y la exactitud de los resultados del análisis. En general, cuando se soluciona un problema nuevo, es conveniente desarrollar primero un modelo simplificado para obtener una idea general de la solución. Paso seguido puede procederse a desarrollar un modelo matemático más completo, el cual puede ser utilizado para un análisis con más pormenores.
Acá es importante comprender que, mientras la teoría de control convencional estaba basada en la relación entrada-salida, por medio de las funciones de transferencia, la teoría de control moderna se basa en la descripción de las ecuaciones de un sistema dado en términos de un cierto número de ecuaciones diferenciales. Esta visión se aplica perfectamente a fenómenos abstractos y adquiere una relevancia especial en los sistemas dinámicos, encontrados en la física, la biología (de las infecciones, por ejemplo), la ecología, la economía y los movimientos político-sociales, por mencionar algunos. Esta dinamicidad conlleva la complejidad, en vista de que las salidas en el presente dependerán de las entradas en el pasado. Sobre la modelación matemática, K. Ogata escribe:
Tenga presente que un modelo matemático no es único para un sistema determinado, pues este puede representarse en muchas formas diferentes (…). Dependiendo del sistema del que se trate y de las circunstancias específicas, un modelo matemático puede ser más conveniente que otro (…). Una vez obtenido, se usan diversos recursos analíticos, así como computadores, para estudiarlo y sintetizarlo.
Ahora bien, hemos escrito sobre la potencia de los modelos matemáticos, pero no hemos enfatizado en un elemento complementario imprescindible para su uso, sin el cual difícilmente podríamos sacarles el jugo que es posible obtener de su aplicación: la simulación computacional. En esta dirección habíamos presentado un enlace hacia un video del canal de YouTube 3blue1brown, en el que se muestran varias simulaciones sobre los factores que inciden en un brote epidemiológico cualquiera. La idea primordial de la herramienta es ilustrar al público sobre los efectos que provocan los cambios en ciertos parámetros, tales como el distanciamiento social, la aplicación de un cierto porcentaje de cuarentena, la capacidad contagiosa del agente patógeno que produce la epidemia, la aplicación de cuarentena en ciertos lugares específicos cuando en otros vecinos no se aplica, en fin, una serie de aspectos que pueden variar, incidiendo directamente en el comportamiento de la propagación epidémica. La secuencia mostrada en la imagen siguiente ejemplifica algunas de estas situaciones, conforme un modelo matemático previamente programado se alimenta. Se ha incluido la secuencia: modelo → simulación → tendencia.
En esta oportunidad quiero citar al Dr. Pedro Morales-Almazán, matemático, profesor en la Universidad de California en Santa Cruz, quien administra la página de Facebook Matemática Guatemala, y que recientemente ha compartido un vídeo ilustrativo con varias simulaciones que muestran precisamente el comportamiento del brote ante la variación de ciertas medidas y respuestas por parte de la sociedad afectada, que en esta pandemia somos todos. Pedro Morales enfatiza en su vídeo en algo muy importante, el hecho de que la modelación matemática y posterior corrida mediante simulación computacional no tiene única y exclusivamente la finalidad de realizar cálculos para determinar números de interés, como cuántos serán contagiados o cuándo se llegará al pico del brote epidémico, sino que también nos ayudan enormemente a descubrir las características cualitativas de los sistemas en cuestión, pudiendo comprender mucho mejor su funcionamiento. En particular, el uso y aplicación de las diferentes medidas de contención. Bajo el pensamiento lineal, alguien podría pensar que aplicar una cuarentena al 60 % de la población pudiera ser medianamente efectiva. Sin embargo, la simulación computacional muestra que por lo general no será así, y este comportamiento no lineal, y ciertamente caótico (pues pequeñas variaciones producen grande efectos), es propio de la complejidad del sistema. En la próxima imagen se muestran los parámetros incluidos en el modelo que la simulación computacional citada toma en cuenta, ilustrando cómo ante una movilidad social alta se desprende un definitivo aumento del contagio, y consecuentemente el crecimiento exponencial de los infectados por el agente infeccioso.
Es importante que nos empapemos de este tipo de conocimiento que los teóricos más destacados en el mundo están colocando en el primer plano, aprovechando de que disponemos de las herramientas informáticas adecuadas para la simulación de los distintos escenarios. En esta línea de ideas, el destacado neurocientífico francés Jean-Pierre Changeux, al respecto de la complejidad neuronal en el ser humano, dice lo siguiente:
Es un hecho que la ciencia procede por la elaboración de modelos que primeramente dividen lo real en niveles de organización, en grandes categorías que nos permiten penetrar en una jungla neuronal y sináptica de una complejidad extraordinaria. ¡Esos modelos no pretenden agotar toda la realidad del mundo! (…) El objeto que estudia es demasiado complejo para que pueda abarcarlo en su totalidad.
En otras palabras, lo que Changeux expresa es que los modelos resultarán siempre parciales, limitados, pero que a pesar de estas limitaciones se convierten en herramientas poderosísimas para el reconocimiento de los escenarios en los cuales un paradigma de extremo control no es posible, puesto que nos posibilitan muchas soluciones mediante la exploración computacional.
En el enlace del vídeo de Pedro Morales se muestra, de manera sencilla, que la cuarentena y las medidas personales de protección pueden efectivamente cambiar el destino del brote, de manera que se encuentra en las manos de cada comunidad llevar a cabo este tipo de modificaciones en la conducta, con las consabidas buenas consecuencias. Por otro lado, se enfatiza en algo de lo que hemos publicado previamente, que es el hecho de que los confirmados serán siempre un número mucho menor a los efectivamente infectados, y aún más interesante, que el crecimiento de los contagiados, pero no reportados, es muy superior al crecimiento de los confirmados mediante un positivo de la prueba diagnóstico. Dejamos abierta la invitación para darle un vistazo a los dos vídeos compartidos. ¡Quédate en casa!
Imágenes principales tomadas de diversos medios, editadas por Vinicio Barrientos Carles.
Vinicio Barrientos Carles
Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.
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Imágenes tomadas de diversos medios, editadas por Vinicio Barrientos Carles.