La epidemiología matemática y los escenarios de propagación (II)
Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / QUADRIVIUM
La humanidad ha estado peleando contra plagas desde el inicio.
Nos patean el trasero por un tiempo. Luego, atacamos de vuelta.
Scott Wilson
Al final de la primera parte de este artículo enfatizamos que todo crecimiento natural, incluyendo el asociado a un brote epidemiológico, es de tipo exponencial, es decir, se trata de un crecimiento geométrico. Aunque esté muy de moda el uso del término «exponencial», es posible que no alcancemos a comprender del todo qué es lo que exactamente significa. Nuestra mente, analítica y psicomotriz, está acostumbrada a procesar los datos de forma lineal, con la consabida «regla de tres». Así, por ejemplo, si un galón de gasolina nos cuesta Q 30, entonces 10 galones nos costarán Q 300: cero problemas. Si para subsistir una semana necesito Q 200, sé que con Q 1000 podré cubrir el mes completo, porque cada día que pasa, que se adiciona, los costos aumentan en la misma cantidad. De esta forma, una escala aritmética funciona muy bien con las variables que se comportan linealmente, en progresiones aritméticas, por lo que las gráficas estándar que utilizamos usualmente son muy apropiadas. Sin embargo, en un artículo previo sobre la escala logarítmica, hicimos ver que el incremento geométrico requiere de un tratamiento distinto, porque cada término de la sucesión es obtenido del anterior multiplicándolo por un factor fijo, lo que hace que crezca mucho más rápidamente.
¿De dónde sale este proceso de crecimiento? ¿Es tan solo una ideación abstracta o es una situación basada en hechos reales, empíricos? Resulta que la segunda opción se presenta mucho más frecuentemente de lo que alcanzamos a identificar, puesto que pasa desapercibida por nuestros sentidos, que operan linealmente, en un mundo de corto alcance. Sin embargo, básicamente, en cualquier fenómeno donde el ritmo de crecimiento de una variable resulte ser proporcional a la cantidad existente, se generará un crecimiento de tipo geométrico exponencial, al menos al inicio de los procesos. Ejemplos de este tipo de crecimiento pueden apreciarse en el desarrollo de un feto (humano o de cualquier otra especie), en la multiplicación bacteriana sobre un medio pertinente y adecuado, en el crecimiento de los anillos de un árbol, año con año, y en el mismo incremento de una cierta población, humana, animal o vegetal. Todos estos fenómenos obedecen esta ley, puesto que la velocidad con la que aparecen nuevos elementos dependerá en forma directa de la cantidad de elementos existentes.
Concretamente, en el caso de la pandemia del COVID-19, el número de nuevos contagios, es decir el ritmo de contagio, será directamente proporcional al número de personas que están ya contagiadas, porque ellas son las que están en la capacidad de transmitir el virus. De esta guisa, si se tienen 1000 contagiados por el SARS-CoV-2, el número de nuevos contagios (el ritmo de crecimiento del total de infectados) será diez veces mayor que si solo hubiera 100 contagiados. Así, al inicio de cualquier brote específico, cuando la propagación se encuentra libre de cualquier factor limitante, el crecimiento obedecerá necesariamente esta ley, lo cual se evidencia empíricamente en los datos obtenidos en distintos países durante el primer mes de evolución del brote, sin excepción alguna, como puede verse en la imagen siguiente.
El que unos brotes se propaguen más rápidamente que otros depende de las condiciones específicas de cada caso en particular, condiciones que determinan los parámetros que identifican cada modelo. Uno de estos parámetros descriptivos es el denominado tiempo de duplicación, en el cual la cantidad de interés se duplica (lo cual es factible cuando la razón de crecimiento es mayor que uno: r > 1). A menor tiempo de duplicación, la variable crecerá más rápidamente.
En otro artículo previo citamos el caso de la leyenda de Lahur Sissa, inventor del juego de ajedrez, quien se dice que pidió en pago una cantidad de granos de arroz, obtenida de una duplicación progresiva, una por cada casilla del tablero. El total nos resulta sorprendente, porque no alcanzamos a imaginar a cuánto asciende una duplicación repetida 64 veces. En esa misma oportunidad propusimos una duplicación diaria, partiendo de una partícula elemental (un protón, por ejemplo), obteniendo el universo completo después de apenas 40 semanas, justamente el tiempo medio de la gestación humana. En la siguiente imagen se ilustran estos dos casos, comparándolos con el que nos atañe, en nuestro mundo ordinario más chiquito, en el cual difícilmente se podrán lograr 30 duplicaciones, sea de la variable que se trate. En suma, cuando usamos el calificativo exponencial, nos estamos refiriendo a este potencial desborde poblacional, que termina explotando en el infinito.
Aterrizando con el tema de la propagación de un brote epidémico, como el del COVID-19, dado un tiempo de duplicación de d días, tendremos que una cantidad inicial de infectados I0 se convertirá después de 5d días en 32I0, como se muestra en la imagen previa, por la secuencia: 1, 2, 4, 8, 16, 32. En particular, asumamos que d = 2 días, para una ilustración didáctica, y que partimos de un infectado (I0 = 1). Entonces en 10 días tendríamos I = 32 infectados, aproximadamente, lo cual no nos provoca alarma, porque, después de todo, ¿cuál es el problema con tres decenas de infectados en una población de varios millones de habitantes? Y es aquí donde nos equivocamos con nuestro pensamiento lineal, porque no reparamos en el hecho numérico llano: si en 10 días se alcanzó un poco más de 30 contagios, entonces en 20 días, el doble de tiempo, se tendrá alrededor de 1000 contagios… y en 40 días, menos de mes y medio, superaríamos … ¡el millón de personas contagiadas! Y aquí es donde conviene regresar a la imagen precedente, y revisar los números.
Sin embargo, que no cunda el pánico, porque hemos repetido varias veces que este crecimiento, netamente exponencial, solo puede darse al inicio del proceso de propagación del brote o, en general, al inicio del proceso de crecimiento. Si se observa, el embrión duplica su tamaño, continuamente, hasta volverse un feto, pero no podrá seguir con esta ley de duplicación durante mucho tiempo, por una sencilla razón: mamá no dispone de un útero infinito. De igual forma, las bacterias en una caja de Petri, o una determinada población animal, se encuentran limitadas por los recursos disponibles. Este aspecto fue tratado previamente en El modelo logístico y el crecimiento acotado, precisamente por la preocupación del demógrafo Thomas R. Malthus al respecto de la posibilidad catastrófica de un crecimiento humano, de tipo geométrico, ante una provisión planetaria finita, tesis ante la cual el belga P. F. Verhulst desarrolló su modelo matemático correctivo a esta simplificación, que no toma en cuenta la denominada capacidad de carga del sistema. Por ello, cualquier explosión inicial de casos del COVID-19 deberá ser seguida por una inflexión, para finalmente llegar a un número límite de infectados, como se observa en la imagen siguiente. De qué dependerá este momento de inflexión, lo estaremos tratando en la tercera y última parte de estas consideraciones sobre los escenarios de propagación.
Imágenes principales tomadas de diversos medios, editadas por Vinicio Barrientos Carles.
Vinicio Barrientos Carles
Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.
Correo: [email protected]
Importante difundir esto en redes para calmar a la población y que tomemos decisiones objetivas en la familia y sociedad. Hay que hacer resúmenes o píldoras informativas.
Muchas gracias Julio, por tu lectura y más por la valiosa recomendación. Veremos por darle circulación al artículo. Sí es muy importante comprender que la contención del brote es básicamente una medida de tipo social, con el aislamiento prudente y oportuno, como estamos actualmente en toda la buena intención de realizar. Las consecuencias de tipo económico son también no menos importantes, pero por lo pronto es importante cumplir con las medidas de control dictaminadas. Como dice la frase inicial, estamos en la lucha, y podemos contraatacar… éxitosamente! Un abrazo