El factorial de un número
Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / QUADRIVIUM
No es el conocimiento, sino el acto de aprendizaje;
y no la posesión, sino el acto de llegar a ella, lo que concede el mayor deleite.
Carl Friedrich Gauss
«Siempre se topa uno con curiosidades numéricas que más de alguien publica en sus páginas de FB o en los blog personales…». Así empieza una publicación que realicé en los primeros días del año, en la que compartí la expresión matemática que aparece en la parte superior de la imagen inicial de este artículo, acompañándola de los buenos deseos que todos nos hacemos al iniciar un año. La misma me pareció ingeniosa y terriblemente atractiva, por lo que inmediatamente me puse a realizar el cómputo para verificar la certidumbre o falsedad de la igualdad. Me sorprendió que aun teniendo involucrado en varias instancias al número π, al final se obtuviera el número entero 2020, correspondiente a este año en ciernes.
Aunque ciertamente el número π se suele aproximar al valor 3.14159265, es preciso reparar que este valor es tan solo la mejor aproximación en sus primeras ocho cifras decimales. En efecto, ninguna representación decimal puede resultar exacta, pues nadie conoce los infinitos decimales que esta representación tendría, ya que, como sabemos, π es un número real que no es racional, lo que significa que no puede ser representado como una razón (fracción o cociente) entre dos números enteros. Diferente sucede con cualquier número racional, en el que su representación decimal nos es totalmente conocida y controlada. Por ejemplo, 22/7 = 3.142857142857+, en donde se ha omitido la repetición infinita del período decimal, que en este caso es la secuencia 142857. La imagen siguiente muestra una clasificación usual de los números estándar.
Al compartir la imagen, pude observar cómo, aún en círculos reservados para la interacción de aficionados a la Matemática, muchos encontraron dificultad con la interpretación y evaluación de la expresión π! Esto me motivó a redactar esta nota para la columna Quadrivium, para evidenciar la veracidad de la expresión, superando las posibles dificultades en el cálculo respectivo. En definitiva, requeriremos de una calculadora de alta precisión para conservar un suficiente número de decimales y no perderse por falta de exactitud. Bastará la que viene incorporada en la plataforma computacional de Microsoft Windows, ambiente con el que casi todos estamos familiarizados. Al abrir la calculadora de Windows, en la pestaña del menú «Ver», deberemos seleccionar la opción «Científica».
Empecemos con el cómputo más sencillo, que no requiere de la calculadora. El número π encerrado entre unas barras con tabique superior significa que tenemos que aplicar la función TECHO, cual simplemente asigna a cada número real el entero inmediato superior. Por ejemplo, TECHO (5.37) = 6. De manera similar se puede considerar la función PISO, que asigna el entero inmediato inferior, y se simboliza con las mismas barras pero con tabique inferior. Así se tiene que PISO (5.37) = 5. Aunque nos parezca sorprendente, estas funciones matemáticas enteras, y muchas otras más, las utilizamos en distintos momentos de nuestra vida cotidiana, como cuando queremos garantizar un pago, que usamos la función TECHO (porque 6 garantiza el pago de 5.37), o cuando hacemos un reparto entero, que usamos la función PISO (porque repartimos 5 unidades cuando nominalmente se pide repartir 5.37). Por lo anterior tendremos que TECHO (π) no es sino otra forma de escribir 4, porque el entero inmediato superior a π es justamente 4, es decir: TECHO (π) = 4.
El segundo punto en el cómputo está relacionado con la función factorial. Me parece que es bastante conocido que el factorial de un número entero positivo es el producto de los enteros positivos menores o iguales a él. Así, aprendemos en la escuela elemental que el factorial de 5 es el producto de 5 x 4 x 3 x 2 x 1. En nuestra calculadora de Windows, podemos escribir 5 y presionar la tecla n!, obteniendo como resultado el valor de 120, como esperaríamos según la definición anterior. De similar manera, podremos evaluar que 3! = 6 y 4! = 24. La sorpresa probablemente vendrá cuando presionemos la tecla n! para otro número real, que no sea entero, obteniendo como resultado un número con decimales. Como ejercicio, el lector puede calcular el valor del factorial de 3.5224, verificando que es casi igual a 12, como podríamos esperar, en vista que si 3.5224 está entre 3 y 4, su factorial debería estar entre 6 = 3! y 24 = 4!
En el mundo contemporáneo, uno podría imaginarse que la calculadora es una maravilla, sin percatarse que este tipo de cosas provienen del quehacer matemático de siglos atrás, habiendo sido Carl F. Gauss, el «Príncipe de la Matemática», quien desarrolló tales maravillas. Gauss introdujo la función PI, que no es nada más que la función factorial extendida analíticamente a todos los números complejos, para los cuales existe (con la excepción de los números enteros negativos). Así, Π(x) = x! Posteriormente, el matemático Christian Kramp, introdujo en 1808 la notación de n!, trabajando toda su vida en el tema de los factoriales extendidos. El signo de admiración posiblemente corresponde al fabuloso crecimiento de los factoriales, que superan cualquier otro crecimiento de tipo puramente exponencial.
En la imagen inicial he agregado un subíndice F en la primera aparición de π, así: πF. Esto viene al caso de que muchos al final del cálculo asumen, erróneamente, un producto del número π por el resultado entre los paréntesis, lo cual correspondería al producto π x (17 577.616+), el cual obviamente no daría por resultado el número 2020 que afirma la igualdad. Lo que sucede es que la expresión πF (17 577.616+) corresponde a la evaluación de la función π, contadora de primos, la cual no hace más que asignar a cada número real la cantidad de números primos que son menores, o a lo sumo iguales, al número en cuestión. En la imagen siguiente pueden apreciarse algunos ejemplos para la mejor comprensión.
Para concluir, podrá verificarse que, en efecto, el valor π (17 577.616+) = π (17 577) = π (17 573) = 2020, que es el número de números primos que son menores o iguales al valor de la expresión entre paréntesis: 17 577.616+… , en vista de que 17 573 es el 2020-ésimo número primo. Obsérvese finalmente que, si se utilizara la función PI propuesta por Gauss, en lugar de la notación n!, aparecerían muchos más símbolos π en la expresión propuesta, lo que posiblemente la haría mucho más entrampada y obscura de lo que a algunos ya habrá podido parecer. Para cerrar con broche de oro, el lector inquieto podrá verificar en su calculadora que, curiosamente, el factorial de –0.5 es exactamente igual a la raíz del número π.
Imágenes elaboradas por Vinicio Barrientos Carles.
Vinicio Barrientos Carles
Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.
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